虚数是有理数还是无理数

虚数不是有理数也不是无理数，它是复数。复数包含实数和虚数。有理数是实数，所以有理数是复数，但有理数不是虚数，虚数也不是有理数。

虚数的定义

在数学中，虚数就是形如a+b×i的数，其中a，b是实数，且b≠0，i²=-1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b×i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b可对应平面上的纵轴，这样虚数a+b×i可与平面内的点（a,b）对应。

可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a+b×i的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。

在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i²=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√（-1）=±i。对于z=a+bi，也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

虚部带i还是不带i

不带i的。虚部是指复数中不带i的部分。复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i2=-1。在复数a+bi中，a称为实部，b称为虚部。虚部只是一个实数，不需要带符号i。如果带了符号i，就成了虚数部分。例如，在复数3+4i中，3是实部，4是虚部，4i是虚数部分。

虚数的运算公式

1、加法

（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i。

【注】a、b、c、d∈R，下同。

2、减法

（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。

3、乘法

（a+bi）（c+di）=ac+（ad）i+（bc）i+（bd）i^2=ac+（ad）i+（bc）i-（bd）=（ac-bd）+（ad+bc）i。

【注】按多项式乘法展开后，注意到“i^2=-1”，所以“（bd）i^2”等于“-bd”。

要想快速、熟练地掌握虚数的乘法，只需把虚数乘法看成多项式乘法，然后按多项式乘法法则展开，最后注意“i^2=-1”的替换。

4、除法

（a+bi）÷（c+di）=（a+bi）/（c+di）=（ac+bd）/（c^2+d^2）+（bc-ad）i/（c^2+d^2）。

【注】分母c+di≠0.复数的除法运算，常常先把除式化为分式形式后，再进行化简。

要想快速、熟练地掌握虚数的除法，只需先把“除式”化成“分式”，然后在掌握分母实数化方法（即“（a+bi）（a-bi）=a^2+b^2”）的前提下进行等价变形和化简。